三维、二维波方程初值问题的性质

#特征锥 #依赖区域 #影响区域 #决定区域 #后效现象 #无后效现象 #Huyngens原理 #弥散

依赖区域、影响区域与决定区域

特征锥

\begin{aligned} n = 3 & : \partial B_{a t} (x); \\ n = 2 & : B_{a t} (x) . \end{aligned}

这说明 $u (x_{0}, t_{0})$ 的值完全由锥

C (x_{0}, t_{0}) = {(x, t) \in R^{n} \times (0, + \infty) : | x - x_{0} | \leq a (t_{0} - t)}

内 $φ, ψ$ 和 $f (x, t)$ 的的值决定．我们称 $C$ 为以 $(x_{0}, t_{0})$ 为顶点的特征锥，如图中的锥所示．

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2) node[pos=.5,right=3] {$R^n$};
\draw[->] (0,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[left] {$t$};
\draw (3,-1) -- (2,2) node[above] {$(x_0,t_0)$} -- (1,-1);
\draw (3,-1) arc (0:-180:1 and .5);
\draw[dashed] (3,-1) arc (0:180:1 and .5);
\path[fill=gray,opacity=.1] (2,-1) circle (1 and .5);
\node at (2,-1) {$D_{(x_0,t_0)}$};
\draw (2,1) -- (3,1.5) node[right] {$C(x_0,y_0)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

依赖区域

对波方程，在 $f \equiv 0$ 时，此时 $u (x_{0}, t)$ 上的值就只与图中 $D_{(x_{0}, t_{0})} := {x \in R^{n} : | x - x_{0} | \leq a t_{0}}$ 上 $φ, ψ$ 的初值有关了．换句话说：距离点 $x_{0}$ 大于 $a t_{0}$ 处的初值在 $t = t_{0}$ 之前都不能对 $u (x_{0}, t_{0})$ 产生影响． 或者说：波的传播速度有限，波速为 $a$ ．

扰动的传播速度有限的性质是波动方程的解的最基本性质．

称图中的 $D_{(x_{0}, y_{0})}$ 为 $(x_{0}, t_{0})$ 对初值的依赖区域．

影响区域

区域

J_{x_{0}} = {(x, t) \in R^{n} \times (0, + \infty) : | x - x_{0} | \leq a t}

上的点 $u (x, t)$ 与 $x_{0}$ 处的初值 $φ (x_{0}), ψ (x_{0})$ 有关，而此区域以外的点与 $x_{0}$ 无关．这个倒圆锥称为 $x_{0}$ 的影响区域．

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2) node[pos=.5,right=3] {$R^n$};
\draw[->] (0,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[left] {$t$};
\draw (3.5,3.5) -- (2,-1) node[below] {$(x_0,0)$} -- (0.5,3.5);
\draw (3,2) arc (0:-180:1 and .5);
\draw[dashed] (3,2) arc (0:180:1 and .5);
\draw (2,1) -- (3,0.5) node[right] {$J_{x_0}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

而对于一个区域 $D_{0} \subset R^{n}$ ，其影响区域 $J_{D_{0}}$ 自然定义为其中所有点的影响区域之并：

J_{D_{0}} = ⋃_{x_{0} \in D_{0}} J_{x_{0}} .

$(x, t) \in J_{x_{0}}$ 当且仅当 $x_{0} \in D (x, t)$ ；
$(x, t) \in J_{D_{0}}$ 当且仅当 $D (x, t) \cap D_{0} \neq \emptyset$ ．

决定区域

对区域 $D_{0} \subset R^{n}$ ，我们还关心那些值完全由 $D_{0}$ 上的初值确定的点构成的区域，即

F_{D_{0}} = {(x, t) \in R^{n} \times (0, + \infty) : D_{(x, t)} \subset D_{0}} .

波的后效

下面对三维、二维波方程的后效进行讨论．为此，我们设

f (x, t) \equiv 0; supp φ, supp ψ \subset D_{0}, diam D_{0} < \infty

即 $φ$ 、 $ψ$ 只在有界的集合 $D_{0}$ 上有不为 $0$ 的点．

三维波的无后效现象（ Huygens 原理）

考察 Kirchhoff 公式：其中积分区域是 $\partial D_{(x_{0}, t_{0})} = \partial B_{a t} (x)$ ——一层球壳，因此事实上，对 $x_{0} \notin D_{0}$ ，其上波 $u (x_{0}, t_{0}) \neq 0$ 当且仅当 $\partial D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} \neq \emptyset$ ，如图所示．

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}{rotate=30}
\draw[fill=gray,opacity=.1,thick] (-2,0) circle (1 and 0.5);
\draw (-2,0) circle (1 and 0.5);
\node at (-2,0) {$D_0$};
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- (135:1) node[pos=.7,right] {$d_{m}$};
\draw[->] (0,0) -- (225:3) node[pos=.7,right] {$d_{M}$};
\draw[dashed,color=red] (0,0) circle (1.75);
\path (0,0) -- (90:1.75) node[above,red] {$\partial D_{(x_0,t_0)}$};
\path[fill=black] (0,0) circle (.05) node[right] {$x_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

更进一步，若记 $d_{m} = inf_{x \in D_{0}} | x - x_{0} |$ ， $d_{M} = sup_{x \in D_{0}} | x - x_{0} |$ ，那么我们可以得到：

清晰的波前： $0 < t_{0} < \frac{d_{m}}{a}$ 时，由图知 $\partial D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} = \emptyset$ ， $u (x_{0}, t_{0}) = 0$ ；
$\frac{d_{m}}{a} < t_{0} < \frac{d_{M}}{a}$ 时， $\partial D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} \neq \emptyset$ ， $u (x_{0}, t_{0}) \neq 0$ ；
清晰的波后： $t_{0} > \frac{d_{M}}{a}$ 时， $\partial D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} = \emptyset$ ， $u (x_{0}, t_{0}) = 0$ .
这种现象称为无后效现象或 Huygens 原理．

二维波的有后效现象（弥散）

考察 Poisson 公式：其中积分区域是 $D_{(x_{0}, t_{0})} = B_{a t} (x)$ ——一个圆盘．对 $x_{0} \notin D_{0}$ ，其上波 $u (x_{0}, t_{0}) \neq 0$ 当且仅当 $D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} \neq \emptyset$ ，如图所示．

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}{rotate=30}
\draw[fill=gray, opacity=. 1, thick] (-2,0) circle (1 and 0.5);
\draw (-2,0) circle (1 and 0.5);
\node at (-2,0) {$D_0$};
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- (135:1) node[pos=. 7, right] {$d_{m}$};
\draw[->] (0,0) -- (225:3) node[pos=. 7, right] {$d_{M}$};
\draw[dashed, color=red] (0,0) circle (1.75);
\draw[fill=red,opacity=.1] (0,0) circle (1.75);
\path (0,0) -- (90:1.75) node[above, red] {$\partial D_{(x_0,t_0)}$};
\path[fill=black] (0,0) circle (. 05) node[right] {$x_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

更进一步，若记 $d_{m} = inf_{x \in D_{0}} | x - x_{0} |$ ， $d_{M} = sup_{x \in D_{0}} | x - x_{0} |$ ，那么我们可以得到：

清晰的波前： $0 < t_{0} < \frac{d_{m}}{a}$ 时，由图知 $D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} = \emptyset$ ， $u (x_{0}, t_{0}) = 0$ ；
$\frac{d_{m}}{a} < t_{0} < \frac{d_{M}}{a}$ 时， $D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} \neq \emptyset$ ， $u (x_{0}, t_{0}) \neq 0$ ；
没有清晰的波后： $t_{0} > \frac{d_{M}}{a}$ 时， $D_{(x_{0}, t_{0})} \cap D_{0} = \emptyset$ ， $u (x_{0}, t_{0}) = 0$ .
这种现象称为有后效现象或弥散．