三维、二维波方程初值问题的性质

#特征锥 #依赖区域 #影响区域 #决定区域 #后效现象 #无后效现象 #Huyngens原理 #弥散

依赖区域、影响区域与决定区域

特征锥

回忆 Kirchhoff公式Poisson公式 ,其积分的区域分别为

n=3:Bat(x);n=2:Bat(x).

这说明 u(x0,t0) 的值完全由锥

C(x0,t0)={(x,t)Rn×(0,+):|xx0|a(t0t)}

φ,ψf(x,t) 的的值决定.我们称 C 为以 (x0,t0) 为顶点的特征锥,如图中的锥所示.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2) node[pos=.5,right=3] {$R^n$};
\draw[->] (0,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[left] {$t$};
\draw (3,-1) -- (2,2) node[above] {$(x_0,t_0)$} -- (1,-1);
\draw (3,-1) arc (0:-180:1 and .5);
\draw[dashed] (3,-1) arc (0:180:1 and .5);
\path[fill=gray,opacity=.1] (2,-1) circle (1 and .5);
\node at (2,-1) {$D_{(x_0,t_0)}$};
\draw (2,1) -- (3,1.5) node[right] {$C(x_0,y_0)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

依赖区域

对波方程,在 f0 时,此时 u(x0,t) 上的值就只与图中 D(x0,t0):={xRn:|xx0|at0}φ,ψ 的初值有关了.换句话说:距离点 x0 大于 at0 处的初值在 t=t0 之前都不能对 u(x0,t0) 产生影响. 或者说:波的传播速度有限,波速为 a

扰动的传播速度有限的性质是波动方程的解的最基本性质.

称图中的 D(x0,y0)(x0,t0) 对初值的依赖区域.

影响区域

区域

Jx0={(x,t)Rn×(0,+):|xx0|at}

上的点 u(x,t)x0 处的初值 φ(x0),ψ(x0) 有关,而此区域以外的点与 x0 无关.这个倒圆锥称为 x0影响区域

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2) node[pos=.5,right=3] {$R^n$};
\draw[->] (0,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[left] {$t$};
\draw (3.5,3.5) -- (2,-1) node[below] {$(x_0,0)$} -- (0.5,3.5);
\draw (3,2) arc (0:-180:1 and .5);
\draw[dashed] (3,2) arc (0:180:1 and .5);
\draw (2,1) -- (3,0.5) node[right] {$J_{x_0}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

而对于一个区域 D0Rn,其影响区域 JD0 自然定义为其中所有点的影响区域之并:

JD0=x0D0Jx0.

决定区域

对区域 D0Rn ,我们还关心那些值完全由 D0 上的初值确定的点构成的区域,即

FD0={(x,t)Rn×(0,+):D(x,t)D0}.

波的后效

下面对三维、二维波方程的后效进行讨论.为此,我们设

f(x,t)0;suppφ,suppψD0, diamD0<

φψ 只在有界的集合 D0 上有不为 0 的点.

三维波的无后效现象( Huygens 原理)

考察 Kirchhoff 公式:其中积分区域是 D(x0,t0)=Bat(x) ——一层球壳,因此事实上,对 x0D0,其上波 u(x0,t0)0 当且仅当 D(x0,t0)D0 ,如图所示.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}{rotate=30}
\draw[fill=gray,opacity=.1,thick] (-2,0) circle (1 and 0.5);
\draw (-2,0) circle (1 and 0.5);
\node at (-2,0) {$D_0$};
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- (135:1) node[pos=.7,right] {$d_{m}$};
\draw[->] (0,0) -- (225:3) node[pos=.7,right] {$d_{M}$};
\draw[dashed,color=red] (0,0) circle (1.75);
\path (0,0) -- (90:1.75) node[above,red] {$\partial D_{(x_0,t_0)}$};
\path[fill=black] (0,0) circle (.05) node[right] {$x_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

更进一步,若记 dm=infxD0|xx0|dM=supxD0|xx0|,那么我们可以得到:

  1. 清晰的波前:0<t0<dma 时,由图知 D(x0,t0)D0=u(x0,t0)=0
  2. dma<t0<dMa 时,D(x0,t0)D0u(x0,t0)0
  3. 清晰的波后: t0>dMa 时,D(x0,t0)D0=u(x0,t0)=0.
    这种现象称为无后效现象Huygens 原理

二维波的有后效现象(弥散)

考察 Poisson 公式:其中积分区域是 D(x0,t0)=Bat(x) ——一个圆盘.对 x0D0,其上波 u(x0,t0)0 当且仅当 D(x0,t0)D0 ,如图所示.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}{rotate=30}
\draw[fill=gray, opacity=. 1, thick] (-2,0) circle (1 and 0.5);
\draw (-2,0) circle (1 and 0.5);
\node at (-2,0) {$D_0$};
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- (135:1) node[pos=. 7, right] {$d_{m}$};
\draw[->] (0,0) -- (225:3) node[pos=. 7, right] {$d_{M}$};
\draw[dashed, color=red] (0,0) circle (1.75);
\draw[fill=red,opacity=.1] (0,0) circle (1.75);
\path (0,0) -- (90:1.75) node[above, red] {$\partial D_{(x_0,t_0)}$};
\path[fill=black] (0,0) circle (. 05) node[right] {$x_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

更进一步,若记 dm=infxD0|xx0|dM=supxD0|xx0|,那么我们可以得到:

  1. 清晰的波前:0<t0<dma 时,由图知 D(x0,t0)D0=u(x0,t0)=0
  2. dma<t0<dMa 时,D(x0,t0)D0u(x0,t0)0
  3. 没有清晰的波后: t0>dMa 时,D(x0,t0)D0=u(x0,t0)=0.
    这种现象称为有后效现象弥散