三维、二维波方程初值问题的性质
#特征锥 #依赖区域 #影响区域 #决定区域 #后效现象 #无后效现象 #Huyngens原理 #弥散
依赖区域、影响区域与决定区域
特征锥
回忆 Kirchhoff公式 和 Poisson公式 ,其积分的区域分别为
这说明
内
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2) node[pos=.5,right=3] {$R^n$};
\draw[->] (0,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[left] {$t$};
\draw (3,-1) -- (2,2) node[above] {$(x_0,t_0)$} -- (1,-1);
\draw (3,-1) arc (0:-180:1 and .5);
\draw[dashed] (3,-1) arc (0:180:1 and .5);
\path[fill=gray,opacity=.1] (2,-1) circle (1 and .5);
\node at (2,-1) {$D_{(x_0,t_0)}$};
\draw (2,1) -- (3,1.5) node[right] {$C(x_0,y_0)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
依赖区域
对波方程,在
扰动的传播速度有限的性质是波动方程的解的最基本性质.
称图中的
影响区域
区域
上的点
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2) node[pos=.5,right=3] {$R^n$};
\draw[->] (0,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[left] {$t$};
\draw (3.5,3.5) -- (2,-1) node[below] {$(x_0,0)$} -- (0.5,3.5);
\draw (3,2) arc (0:-180:1 and .5);
\draw[dashed] (3,2) arc (0:180:1 and .5);
\draw (2,1) -- (3,0.5) node[right] {$J_{x_0}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
而对于一个区域
当且仅当 ; 当且仅当 .
决定区域
对区域
波的后效
下面对三维、二维波方程的后效进行讨论.为此,我们设
即
三维波的无后效现象( Huygens 原理)
考察 Kirchhoff 公式:其中积分区域是
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}{rotate=30}
\draw[fill=gray,opacity=.1,thick] (-2,0) circle (1 and 0.5);
\draw (-2,0) circle (1 and 0.5);
\node at (-2,0) {$D_0$};
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- (135:1) node[pos=.7,right] {$d_{m}$};
\draw[->] (0,0) -- (225:3) node[pos=.7,right] {$d_{M}$};
\draw[dashed,color=red] (0,0) circle (1.75);
\path (0,0) -- (90:1.75) node[above,red] {$\partial D_{(x_0,t_0)}$};
\path[fill=black] (0,0) circle (.05) node[right] {$x_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}
更进一步,若记
- 清晰的波前:
时,由图知 , ; 时, , ; - 清晰的波后:
时, , .
这种现象称为无后效现象或 Huygens 原理.
二维波的有后效现象(弥散)
考察 Poisson 公式:其中积分区域是
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}{rotate=30}
\draw[fill=gray, opacity=. 1, thick] (-2,0) circle (1 and 0.5);
\draw (-2,0) circle (1 and 0.5);
\node at (-2,0) {$D_0$};
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- (135:1) node[pos=. 7, right] {$d_{m}$};
\draw[->] (0,0) -- (225:3) node[pos=. 7, right] {$d_{M}$};
\draw[dashed, color=red] (0,0) circle (1.75);
\draw[fill=red,opacity=.1] (0,0) circle (1.75);
\path (0,0) -- (90:1.75) node[above, red] {$\partial D_{(x_0,t_0)}$};
\path[fill=black] (0,0) circle (. 05) node[right] {$x_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}
更进一步,若记
- 清晰的波前:
时,由图知 , ; 时, , ; - 没有清晰的波后:
时, , .
这种现象称为有后效现象或 弥散.